RSS

mencari Luas Lingkaran Dengan Menggunakan Pendekatan Segitiga

Mencari luas lingkaran dengan menggunakan pendekatan segitiga

Langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Bagilah model lingkaran menjadi sembilan juring yang sama besar (masing-masing juring besarnya 40°)
  2. Lalu susunlah potongan tersebut menjadi sebuah segitiga, lebih jelasnya lihat gambar berikut:

 

  1. Dari gambar tersebut didapat:
    Luas lingkaran  Luas Segitiga
    Luas lingkaran = 
    Luas lingkaran = 
    Luas lingkaran = 
    Luas lingkaran = 

Nah sehingga didapat luas lingkaran = . OK, selamat mencoba ya,…

semoga dapat mengikuti setiap langkahnya.. ^_^

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 15, 2012 in Uncategorized

 
Video

Trigonometri Dasar I

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 15, 2012 in Uncategorized

 

Bangun Datar dan Bangun Ruang

Bangun Datar dan Bangun Ruang

 

Ika tinggal di perumahan Griya Indah. Denah rumah Ika adalah sebagai berikut.

 

Dapatkah kamu menghitung luas bangunan dari rumah Ika? Berapa meter persegi (m2) luas halaman depan dan halaman belakangnya? Untuk dapat menjawabnya, kamu harus dapat menghitung luas bagian-bagian pada denah tersebut. Oleh karena itu, pelajarilah dengan baik.

A. Luas Bangun Datar

Kamu telah mempelajari tentang luas berbagai bangun datar di Kelas IV. Pada pokok bahasan ini, kamu akan mempelajari cara menghitung luas segi banyak. Sebelum mempelajari luas segi banyak, ingatlah kembali bagaimana menghitung
luas persegi, persegipanjang, jajargenjang, dan trapesium.

1. Mengingat Kembali Luas Persegi, Persegipanjang, Segitiga, Jajargenjang, dan Trapesium

Untuk mengingat kembali bagaimana menghitung luas persegi, persegipanjang, segitiga, jajargenjang, dan trapesium, perhatikan contoh berikut.

 

 

 

2. Menghitung Luas Segi Banyak

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari bagaimana menghitung luas daerah yang merupakan gabungan dari dua bangun datar. Ayo, perhatikanlah gambar berikut.

 

Bangun datar pada Gambar (a) dan (b) dinamakan juga segi banyak. Bangun (a) dibentuk oleh persegipanjang dan persegi. Adapun bangun (b) dibentuk oleh persegipanjang dan segitiga. Bagaimanakah cara menghitung luas segi banyak tersebut?

Langkah-langkah untuk menghitung luas segi banyak adalah sebagai berikut.
1. Tentukan bangun datar apa saja yang membentuknya.
2. Tentukan luas dari setiap bangun datar yang membentuknya.
3. Jumlahkan luas dari keseluruhan bangun datar yang membentuknya.

Berdasarkan langkah-langkah tersebut, maka
• Luas bangun (a) = luas persegipanjang ABCG + luas persegi DEFG
= (10 cm × 4 cm) + (3 cm × 3 cm)
= 40 cm2 + 9 cm2
= 49 cm2
• Luas bangun (b) = luas persegipanjang PQST + luas segitiga QRS
= (12 cm × 8 cm) + (1/2 × 8 cm × 3 cm)
= 96 cm2 + 12 cm2
= 108 cm2

Agar kamu lebih memahami dalam menghitung luas segi banyak, pelajarilah contoh berikut.

 

 

 

3. Menghitung Luas Lingkaran

Pada bagian ini, akan dibahas mengenai bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Yang dimaksud dengan lingkaran di sini adalah garis lengkung yang titik-titiknya berjarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini dinamakan titik pusat lingkaran. Namun sebelumnya, akan diperkenalkan tentang jari-jari dan diameter lingkaran serta bagaimana menghitung keliling lingkaran.

a. Jari-jari dan Diameter Lingkaran

Perhatikanlah gambar lingkaran dengan titik pusat O berikut.

 

Jarak dari titik pusat ke setiap titik pada lingkaran dinamakan jari-jari lingkaran. Pada gambar tersebut jarak titik O ke titik A sama dengan jarak titik O ke titik B yang dalam hal ini merupakan jari-jari lingkaran. Jari-jari lingkaran biasanya dilambangkan dengan r. Diameter lingkaran adalah panjang ruas garis lurus yang melalui titik pusat dan menghubungan dua buah titik pada lingkaran. Sebagai contoh, perhatikan gambar lingkaran berikut ini.

 

Titik pusat lingkaran pada gambar di atas adalah O. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran. Ruas garis AC dan BD melalui titik O. Panjang ruas garis AC sama dengan ruas garis BD yang merupakan diameter lingkaran tersebut. Diameter lingkaran dilambangkan dengan d. Diameter lingkaran sama dengan dua kali jari-jarinya. Dengan demikian,

 

 

Contoh
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 6 cm. Berapa cm panjang diameternya?
Jawab:
r = 6 cm
Panjang diameter lingkaran adalah
d = 2 × r
= 2 × 6 cm
= 12 cm
Jadi, panjang diameter lingkaran tersebut adalah 12 cm.

b. Keliling Lingkaran

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 5 meter. Ali berlari mengelilingi taman itu satu kali putaran. Berapa meter jarak yang telah ditempuh Ali?
Jarak yang ditempuh Ali sama dengan keliling taman yang berbentuk lingkaran tersebut. Dapatkah kamu mencari keliling
lingkaran jika diketahui diameternya?
Agar kamu dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.

 

 

Dari kegiatan tersebut, kamu akan mendapatkan bahwa perbandingan keliling (K) dan diameter lingkaran (d) mendekati bilangan 3,14 atau 22/7 . Selanjutnya, bilangan ini dinamakan π , dibaca pi .

 

Oleh karena panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari, keliling lingkaran dapat juga dirumuskan sebagai berikut.

 

 

b. Luas Lingkaran

Kamu telah mengetahui cara menghitung keliling lingkaran. Sekarang, bagaimanakah cara menghitung luas lingkaran? Pengertian luas lingkaran di sini adalah luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran tersebut. Luas lingkaran dapat dihitung jika diketahui panjang diameter atau jari-jarinya. Akan tetapi, bagaimana caranya? Perhatikanlah gambar berikut ini.

 

a. Sebuah lingkaran dibagi menjadi beberapa bagian. Pada gambar ini tampak bahwa lingkaran dibagi menjadi 16 bagian.
b. Bagian-bagian lingkaran disusun menyerupai persegi panjang dengan lebar sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu r. Adapun panjangnya adalah setengah dari keliling lingkaran atau 1/2 K.
Dari gambar tersebut, diperoleh bahwa luas lingkaran mendekati luas persegi panjang dengan panjang
1/2 K dan lebar r.
Luas lingkaran = luas persegi panjang ABCD
= p × l
=1/2 K × r
=1/2 × (π × 2 × r) × r
=1/2 × 2 × π × r × r
= π × r2
Jadi, luas lingkaran adalah

 

 

 

 

B. Bangun Ruang

Di Kelas V, kamu telah mempelajari sifat-sifat bangun ruang. Kamu juga telah mengenal jaring-jaring bangun ruang, seperti balok, kubus, prisma tegak segitiga, tabung, dan bola. Pada subbab ini, kamu akan mempelajari cara menghitung volume prisma tegak segitiga dan volume tabung.

1. Menghitung Volume Prisma Tegak Segitiga

Perhatikan bangun prisma tegak berikut ini.

 

Bangun-bangun tersebut dinamakan prisma tegak. Nama bangun prisma tegak ditentukan oleh bentuk alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka disebut prisma tegak segitiga. Jika alas segiempat maka dinamakan prisma tegak segiempat, dan
seterusnya. Pada gambar (b), prisma tegak segiempat dinamakan juga balok. Kamu telah mengetahui bahwa volume balok adalah

 

Bagaimana dengan volume prisma tegak segitiga? Bagaimanakah cara menghitung volume prisma tegak segitiga? Agar kamu dapat menjawabnya, perhatikan peragaan berikut.

 

• Gambar (a) memperlihatkan balok ABCDEFGH dengan ukuran p; l ; t dibelah menurut bidang BFHD.
• Hasil belahan tersebut berupa dua prisma tegak segitiga yang sama dan sebangun. Alas kedua prisma tersebut
berbentuk segitiga.
Volume prisma segitiga ABDEFH dan BCDFGH sama, yaitu masing-masing setengah dari volume balok. Oleh karena itu,

 

Jadi, volume prisma tegak segitiga adalah

 

Rumus tersebut berlaku juga untuk setiap prisma lainnya. Volume prisma tegak adalah V = L × t

 

 

 

2. Menghitung Volume Tabung

Sekarang, kamu akan mempelajari cara menghitung volume tabung. Tahukah kamu, bagaimanakah cara menghitung volume tabung? Perhatikan gambar berikut.

 

Gambar (a) adalah prisma segiempat beraturan (alasnya persegi), prisma ini disebut juga balok. Gambar (b) adalah prisma segilima beraturan. Adapun gambar (c) adalah prisma segienam beraturan. Jika pada alas prisma, dibentuk segi beraturan secara terus menerus, misalnya segidelapan, segienambelas, segitigapuluhdua, dan seterusnya maka alasnya akan menyerupai lingkaran seperti gambar (d) dan bangun ini dinamakan tabung. Dengan demikian, volume tabung dapat dipandang sebagai volume prisma.

 

dengan L = luas alas prisma berbentuk lingkaran, r = jari-jari tabung, dan t = tinggi tabung.

silahkan Download materinya : Bangun Datar dan Bangun Ruang

 

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 14, 2012 in Matematika

 

Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola

 

 

Postingan kemarin, saya membahas bagaimana rumus volume limas diperoleh. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}  diperoleh.

Diketahui  persamaan lingkaran dengan jari-jari r dengan titik pusat berada di titik asal pada kordinat kartesius adalah

x^2+y^2=r

solusi untuk y:

y=\pm\sqrt{r^{2}-x^{2}}

Sekarang perhatikan setengah lingkaran bagian atas

y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}

fungsi y=\sqrt{r^{2}-r^{2}} kontinyu pada interval \left[-r,r\right]. Jika setengah lingkaran tersebut diputar, kita akan mendapatkan bola. Gunakan metode cakram untuk memperoleh volumenya.

V=\pi\int_{-r}^{r}y^{2}dx

V=\pi\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^{2}dx

v=\pi\int_{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx

V=\pi r^{2}x-\pi\frac{1}{3}x^{3}|_{x=-r}^{x=r}

V=\left(\pi r^{2}r-\pi\frac{1}{3}r^{3}\right)-\left(\pi r^{2}\left(-r\right)-\pi\frac{1}{3}\left(-r\right)^{3}\right)

V=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}

{\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

Viola, kita mendapatkan rumus volume bola.

Selanjutnya kita akan membahas rumus luas permukaan Bola 4\pi r^{2}

Darimana rumus luas permukaan bola diperoleh?

Bayangkan sebua bola dengan jari-jari r tersusun dari potongan-potongan berbentuk limas sebanyak n→∞. Semua limas mempunyai tinggi r dan mempunyai titik puncak di titik pusat bola perhatikan gambar dibawah

Jadi permukaan bola tersusun dari alas-alas limas. Misalkan luas permukaan alas limas dari yang pertama sampai ke-n adalah L_{1},L_{2}\ldots,L_{n} maka luas permukaan bola adalah penjumlahan semua luas alas limas.

LB=L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}.

Karena bola tersusun dari potongan-potongan limas maka volume bola adalah hasil penjumlahan semua volume limas.

V=\frac{1}{3}rL_{1}+\frac{1}{3}rL_{2}+\ldots+\frac{1}{3}rL_{n}

V=\frac{1}{3}r\left(L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}\right)

V=\frac{1}{3}rLB

Telah kita bahas diatas bahwa volume bola adalah {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{1}{3}rLB

4\pi r^{2}=LB

Viola kita mendapatkan rumus permukaan bola 4\pi r^{2}.

Sumber gambar: mathschallenge.net dan proofwiki.org

sumber : http://ariaturns.wordpress.com/2012/10/26/memperoleh-rumus-volume-dan-luas-permukaan-bola/

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 14, 2012 in Uncategorized

 

Bilangan Fibonacci

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisanyang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

   F(n)=    \begin{cases}     0, & \mbox{jika }n=0; \\     1, & \mbox{jika }n=1; \\     F(n-1)+F(n-2) & \mbox{jika tidak.}    \end{cases}

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

Fn = (x1n – x2n)/ sqrt(5)

dengan

  • Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
  • x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.

ASAL MULA

Berdasarkan buku The Art of Computer Programing karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo Da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

PERHITUNGAN POPULASI KELINCI

Masalah asli yang diselidiki Fibonacci (tahun 1202) adalah tentang bagaimana kelinci bisa cepat berkembang biak dalam keadaan ideal.

Fluffy kelinci

Misalkan pasangan yang baru lahir dari kelinci, satu laki-laki, satu perempuan, diletakkan di lapangan. Kelinci dapat kawin pada usia satu bulan sehingga pada akhir bulan kedua wanita bisa menghasilkan sepasang kelinci. Misalkan kelinci kita tidak pernah mati dan bahwa wanita selalumenghasilkan satu pasangan baru (satu laki-laki, satu perempuan) setiap bulan dari bulan kedua. Teka-teki yang diajukan Fibonacci adalah …

Berapa banyak pasangan akan ada dalam satu tahun?

  1. Pada akhir bulan pertama, mereka pasangan, tetapi masih ada satu hanya 1 pasangan.
  2. Pada akhir bulan kedua wanita menghasilkan pasangan baru, jadi sekarang ada 2 pasang kelinci di lapangan.
  3. Pada akhir bulan ketiga, betina asli menghasilkan pasangan kedua, membuat 3 pasang di semua di lapangan.
  4. Pada akhir bulan keempat, wanita asli telah menghasilkan pasangan baru lagi, betina lahir dua bulan lalu menghasilkan pasangan pertama juga, membuat 5 pasang. Read the rest of this entry »
 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Juni 12, 2012 in Matematika

 
Video

The Pythagorean Theorem (animation) by algebrafree.com, algebra help

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Mei 29, 2012 in Uncategorized

 
Video

The Pythagorean Theorem

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Mei 29, 2012 in Uncategorized

 
 
Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 445 pengikut lainnya.