RSS

Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola

14 Des

 

 

Postingan kemarin, saya membahas bagaimana rumus volume limas diperoleh. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}  diperoleh.

Diketahui  persamaan lingkaran dengan jari-jari r dengan titik pusat berada di titik asal pada kordinat kartesius adalah

x^2+y^2=r

solusi untuk y:

y=\pm\sqrt{r^{2}-x^{2}}

Sekarang perhatikan setengah lingkaran bagian atas

y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}

fungsi y=\sqrt{r^{2}-r^{2}} kontinyu pada interval \left[-r,r\right]. Jika setengah lingkaran tersebut diputar, kita akan mendapatkan bola. Gunakan metode cakram untuk memperoleh volumenya.

V=\pi\int_{-r}^{r}y^{2}dx

V=\pi\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^{2}dx

v=\pi\int_{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx

V=\pi r^{2}x-\pi\frac{1}{3}x^{3}|_{x=-r}^{x=r}

V=\left(\pi r^{2}r-\pi\frac{1}{3}r^{3}\right)-\left(\pi r^{2}\left(-r\right)-\pi\frac{1}{3}\left(-r\right)^{3}\right)

V=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}

{\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

Viola, kita mendapatkan rumus volume bola.

Selanjutnya kita akan membahas rumus luas permukaan Bola 4\pi r^{2}

Darimana rumus luas permukaan bola diperoleh?

Bayangkan sebua bola dengan jari-jari r tersusun dari potongan-potongan berbentuk limas sebanyak n→∞. Semua limas mempunyai tinggi r dan mempunyai titik puncak di titik pusat bola perhatikan gambar dibawah

Jadi permukaan bola tersusun dari alas-alas limas. Misalkan luas permukaan alas limas dari yang pertama sampai ke-n adalah L_{1},L_{2}\ldots,L_{n} maka luas permukaan bola adalah penjumlahan semua luas alas limas.

LB=L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}.

Karena bola tersusun dari potongan-potongan limas maka volume bola adalah hasil penjumlahan semua volume limas.

V=\frac{1}{3}rL_{1}+\frac{1}{3}rL_{2}+\ldots+\frac{1}{3}rL_{n}

V=\frac{1}{3}r\left(L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}\right)

V=\frac{1}{3}rLB

Telah kita bahas diatas bahwa volume bola adalah {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{1}{3}rLB

4\pi r^{2}=LB

Viola kita mendapatkan rumus permukaan bola 4\pi r^{2}.

Sumber gambar: mathschallenge.net dan proofwiki.org

sumber : http://ariaturns.wordpress.com/2012/10/26/memperoleh-rumus-volume-dan-luas-permukaan-bola/

About these ads
 
Tinggalkan komentar

Posted by pada Desember 14, 2012 in Uncategorized

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

 
Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 445 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: