RSS

Akar 2

17 Des

 

\sqrt{2}=1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807...

Boleh dibilang \sqrt{2} adalah bilangan irasional pertama yang ditemukan oleh manusia. Ditemukan tanpa sengaja oleh pythagoras melalui rumus pythagorasnya yang terkenal

sisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi yang lain 1 satuamsisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi yang lain 1 satuam

Konon munurut legenda Pythagoras tidak percaya bahwa \sqrt{2} adalah bilangan irasional, bahkan dia percaya tidak ada bilangan irasional, semua bilangan real adalah bilangan rasional. Sampai suatu saat seseorang bernama Hippapus membuktikan bahwa bilangan irasional itu ada. Pythagoras marah lalu bersama murid-muridnya Pythagoras menenggelamkan Hippapus hingga mati (wuih..kalo gitu Pytagoras pembunuh dong).

Pembuktian \sqrt{2} adalah Irasioanal

Untuk membuktikan \sqrt{2} adalah Irasioanal kitab menggunakan metode kontadiksi (proof by contradiction). Yaitu dengan mengasumsikan bawha lawan dari pernyataan/dalil adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan.dalil tersebut benar.

 

kita asumsikan bahwa \sqrt{2} adalah rasional artinya ada bilangan bulat a dan b dimana \sqrt{2}= a/b, dengan a dan b relative prima (FPB a dan b adalah 1), maka

(\sqrt{2 )^2}= (a/b)^2

2=a^2/b^2

2b^2=a^2

Maka a^2 adalag genap karena sama dengan 2b^2, yang menyebabkan a juga genap ( akar dari bilangan genap juga genap) maka ada bilangan bulat k, dimana a=2k, subtitusi ke persamaan diatas kita peroleh

2b^2=(2k)^2

2b^2=4k^2

b^2=2k^2

Maka b^2 genap, yang mengakibatkan b juga genap,

Jadi kita bisa menyimpulkan a dan b adalah genap habis dibagi 2 padahal menurut asumsi a dan b adalah relative prime, terjadi kontadiksi maka pengamsumsian kita salah, yang berarti \sqrt{2} terbukti bilngan irasional

 
Tinggalkan komentar

Ditulis oleh pada Desember 17, 2011 in Uncategorized

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

 
%d blogger menyukai ini: